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Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
(ENEM– Adaptado) Uma padaria vende, em média, [tex]100[/tex] pães especiais por dia e arrecada com essas vendas, em média, [tex]R\$\ 300,00[/tex]. Constatou-se que a quantidade de pães especiais vendidos diariamente aumenta, caso o preço seja reduzido, de acordo com a equação [tex]\boxed{q=400–100p}[/tex], na qual [tex]q[/tex] representa a quantidade de pães especiais vendidos diariamente e [tex]p[/tex], o seu preço em reais.
A fim de aumentar o fluxo de clientes, o gerente da padaria decidiu fazer uma promoção. Para tanto, modificará o preço do pão especial de modo que a quantidade a ser vendida diariamente seja a maior possível, sem diminuir a média de arrecadação diária na venda desse produto.
Qual deve ser o preço [tex]p[/tex], em reais, do pão especial nessa promoção?
Lembrete
As raízes da equação do segundo grau [tex]~~ax^2+bx+c = 0~~[/tex] são dadas por
[tex]~~~~~~~~~~~~x_1 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}~~~[/tex] e [tex]~~~x_2 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex],
onde [tex]a,b,c[/tex] são números reais, com [tex]a\ne 0~[/tex], e [tex]~\Delta =b^2-4ac[/tex].
Solução
Observe que a arrecadação é dada pelo preço de cada pão multiplicado pela quantidade de pães vendidos e essa arrecadação é de [tex]300[/tex]; assim, temos:
[tex]\qquad (400–100\cdot p)\cdot p=300[/tex]
[tex]\qquad 400p–100p^2=300[/tex]
[tex]\qquad p^2–4\cdot p+3=0[/tex]
[tex]\qquad p=\dfrac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot (1) \cdot (3)}}{2 \cdot (1)}=\dfrac{4 \pm 2}{2}.[/tex]
Assim:
[tex]\qquad x_1=\dfrac{4+2}{2}=3[/tex] ou [tex]x_2=\dfrac{4-2}{2}=1.[/tex]
Desta forma, o pão deverá ter seu preço reduzido para [tex]1[/tex] real.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.